数学合同具有以下性质:
任意矩阵都与自身合同。即,对于任意矩阵 \( A \),都有 \( A \) 与 \( A \) 合同。
如果矩阵 \( A \) 与矩阵 \( B \) 合同,那么矩阵 \( B \) 也与矩阵 \( A \) 合同。即,如果 \( A \) 合同于 \( B \),则 \( B \) 合同于 \( A \)。
如果矩阵 \( A \) 与矩阵 \( B \) 合同,矩阵 \( B \) 与矩阵 \( C \) 合同,那么矩阵 \( A \) 也与矩阵 \( C \) 合同。即,如果 \( A \) 合同于 \( B \) 且 \( B \) 合同于 \( C \),则 \( A \) 合同于 \( C \)。
两个合同的矩阵具有相同的秩。
在数域 \( P \) 上,两个合同矩阵的正负惯性指数(正特征值的个数、负特征值的个数和零特征值的个数)相同。
合同关系是在特定的数域 \( P \) 上定义的,不同的数域可能有不同的合同关系。
两个合同的矩阵具有相同的行列式值。
这些性质使得合同关系在数学,特别是在线性代数和二次型理论中,有着重要的应用。合同关系提供了一种衡量矩阵之间相似性的方法,这种相似性在几何变换、坐标变换和二次型的标准化等方面非常有用。
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